Calculating t_SAC for the Schmidt-Appleman-Criterion (SAC)ng t_SAC for the Schmidt-Appleman-Criterion (SAC)                                                                                                      
                                                                                                       
Derivation of the Approximate-Analytical Solution H [ft] p [Pa] G [Pa/ C] ln(G) t_1 [ C] t_2 [ C] t_3 [ C] t_4 [ C]                                                                                
a_w 611.2 Pa   10000 79304 5.725 1.745 -29.21 -28.09 -27.98 -27.97  
                                                   
b_w 17.62     15000 62363 4.502 1.505 -31.74 -30.91 -30.82 -30.82                                                      
c_w 243.12 C   20000 49041 3.540 1.264 -34.22 -33.65 -33.59 -33.58                                                      
        25000 38565 2.784 1.024 -36.64 -36.31 -36.28 -36.28                                                      
EI_H2O 1.25     30000 30327 2.189 0.784 -39.00 -38.91 -38.90 -38.90                                                      
c_p 1004 J/(kgK)   35000 23848 1.722 0.543 -41.31 -41.44 -41.45 -41.45                                                      
eps 0.622     40000 18754 1.354 0.303 -43.57 -43.90 -43.93 -43.94                                                      
Q 43000000 J/kg   45000 14747 1.065 0.063 -45.78 -46.31 -46.35 -46.36                                                      
eta 0.35     50000 11597 0.837 -0.178 -47.94 -48.65 -48.71 -48.72                                                      
        55000 9120 0.658 -0.418 -50.06 -50.94 -51.02 -51.02                                                      
k_a 6.8756E-06 1/ft   60000 7172 0.518 -0.658 -52.13 -53.17 -53.26 -53.27                                                      
k_b 4.80634E-05 1/ft   65000 5640 0.407 -0.899 -54.15 -55.35 -55.45 -55.46                                                      
k_exp 5.25588     70000 4435 0.320 -1.139 -56.13 -57.47 -57.59 -57.60                                                      
H_T 36089 ft   75000 3487 0.252 -1.379 -58.07 -59.55 -59.68 -59.69                                                      
p_0 101315 Pa   80000 2742 0.198 -1.620 -59.97 -61.58 -61.72 -61.73                                                      
p_T 22632 Pa                                                                                                  
                                                                                                       
t_init -40 C       G [Pa/ C] ln(G) t_1 [ C] t_2 [ C] t_3 [ C] t_4 [ C] t_SLZ [ C]                                                                              
            0.025 -3.69 -74.86 -77.31 -77.50 -77.52 -77.10
                                                   
Approximate-Analytical Solution       0.050 -3.00 -70.15 -72.37 -72.54 -72.56 -72.53                                                    
 
          0.075 -2.59 -67.27 -69.33 -69.50 -69.51 -69.62                                                    
            0.100 -2.30 -65.17 -67.11 -67.26 -67.28 -67.45                                                    
            0.200 -1.61 -59.90 -61.50 -61.63 -61.64 -61.87                                                    
            0.300 -1.20 -56.66 -58.04 -58.16 -58.17 -58.37                                                    
t = t_SAC = a_SLZ*LN(G)^2+b_SLZ*LN(G)+c_SLZ     0.400 -0.92 -54.30 -55.50 -55.61 -55.62 -55.78                                                    
t = t_SAC = -43.859 C       0.500 -0.69 -52.42 -53.49 -53.58 -53.59 -53.72                                                    
            0.600 -0.51 -50.86 -51.80 -51.89 -51.90 -51.99                                                    
Analytical Solution: LambertW Function       0.700 -0.36 -49.52 -50.36 -50.43 -50.44 -50.50                                                    
(exact within numerical precision of the LamberW function)   0.800 -0.22 -48.35 -49.09 -49.15 -49.16 -49.19                                                    
 
          0.900 -0.11 -47.30 -47.95 -48.01 -48.01 -48.02                                                    
            1.000 0.00 -46.35 -46.92 -46.97 -46.98 -46.97                                                    
            2.000 0.69 -39.88 -39.87 -39.87 -39.87 -39.71                                                    
            3.000 1.10 -35.89 -35.49 -35.45 -35.45 -35.24                                                    
            4.000 1.39 -32.97 -32.26 -32.19 -32.19 -31.96                                                                              
x = -0.5*WURZEL(b_w*c_w*G/(a_w*EXP(b_w)))   5.000 1.61 -30.64 -29.69 -29.59 -29.58 -29.35                                                                              
x = -0.000229846         6.000 1.79 -28.70 -27.53 -27.42 -27.40 -27.19               a_SLZ 0.52349                                                            
W(x) = LambertW(x;-1)     W-1 7.000 1.95 -27.04 -25.68 -25.54 -25.53 -25.33               b_SLZ 10.1007                                                            
W(x) = -10.753318     * W-1 8.000 2.08 -25.57 -24.04 -23.89 -23.87 -23.70               c_SLZ -46.9663                                                            
t = t_SAC = -c_w-b_w*c_w/(2*B39)       9.000 2.20 -24.26 -22.58 -22.40 -22.39 -22.25                                                                              
t = t_SAC = -43.936 C   * #NAME?,   10.000 2.30 -23.08 -21.25 -21.06 -21.04 -20.93                                                                              
        if LamberW not defined 11.000 2.40 -21.99 -20.04 -19.83 -19.81 -19.74                                                                              
Compare with online calculator (e.g.):       12.000 2.48 -21.00 -18.92 -18.70 -18.67 -18.63                                                                              
https://www.had2know.org/academics/lambert-w-function-calculator.html 13.000 2.56 -20.07 -17.87 -17.64 -17.62 -17.61                                                                              
W(x) = -0.000230 W0       14.000 2.64 -19.21 -16.90 -16.66 -16.63 -16.66                                                                              
  and         15.000 2.71 -18.40 -15.99 -15.73 -15.70 -15.77                                                                              
W(x) = -10.753315 W-1       16.000 2.77 -17.63 -15.12 -14.86 -14.83 -14.94                                                                              
 
          17.000 2.83 -16.91 -14.31 -14.03 -14.00 -14.15                                                                              
            18.000 2.89 -16.23 -13.53 -13.24 -13.21 -13.40                                                                              
            19.000 2.94 -15.57 -12.80 -12.49 -12.46 -12.69                                                                              
            20.000 3.00 -14.95 -12.09 -11.78 -11.75 -12.01                                                                              
                                                                                                       
                    Press <ALT> F11 to see the LamberW-Function (only included in files of type *.xlsm)                                                                      
                                                                                                       
                    Function LambertW(x As Double, Optional branch As Integer = 0) As Double                                                                        
                    Dim w As Double, wPrev As Double, tol As Double, i As Integer                                                                        
                    tol = 0.000000000001                                                                                
                    ' Initial guess                                                                                
                    If branch = -1 Then                                                                                
                    w = Log(-x)                                                                                
                    Else                                                                                  
                    w = x                                                                                  
                    End If                                                                                  
                    For i = 1 To 100                                                                                
LambertW function: W-1 und W0. Stephan Kulla, CC BY           wPrev = w                                                                                
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diagram_of_the_real_branches_of_the_Lambert_W_function.png   w = w - (w * Exp(w) - x) / ((w + 1) * Exp(w) - (w + 2) * (w * Exp(w) - x) / (2 * w + 2))                                                                      
                    If Abs(w - wPrev) < tol Then Exit For                                                                            
Iterative Solution                 Next i                                                                                  
with t_1, t_2, t_3, t_4                 LambertW = w                                                                                
 
                  End Function                                                                                
                                                                                                       
                                                                                                       
                                                                                                       
t_n+1 = b_w*c_w/(b_w-LN(G*(c_w+t_n)^2/(a_w*b_w*c_w)))-c_w                                                                                            
                                                                                                       
t_1 = -43.573 C mit t_0 = t_ini = -40 C                                                                                          
t_2 = -43.902 C                                                                                                  
t_3 = -43.933 C                                                                                                  
t_4 = -43.936 C                                                                                                  
t_5 = -43.936 C                                                                                                  
                                                                                                       
Numerical Solution (with Excel Solver)                                                                                                  
 
                                                                                                     
                                                                                                       
See Tab "SAC"